تبلیغات
tahghighatt - ریاضیات گسسته
 
tahghighatt
09376422121
درباره وبلاگ



مدیر وبلاگ : علی م مولایی
نویسندگان
آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :
                  مقدمه: تاریخچه ریاضیات گسسته پیشرفتهای سریع تكنولوژی در نیمه دوم قرن یبستم به ویژه پیشرفتهای شگفت آور علوم كامپیوتر، مسائل جدید را مطرح كردندكه طرح و حل آنها روشها و نظریه های تازه ای می طلبد. طبیعت متناهی و گسسته بسیاری از این مسائل موجب شده است
كه روشها و قواعد گوناگون شمارش از اهمیت خاصی بر خوردار شوند. توفیق مفاهیم لازم برای بررسی این مسائل به كار گیری منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها را اجتناب ناپذیر ساخته است. معادلات تفاضلی، روابط بازگشتی، توابع مولد، از دیگراجزایی هستند ك در حل مسائل مورد بحث نقشی اساسی دارند از طرف دیگر هنگام بررسی مسائل مربوط به مدارها، شبكه های حمل و نقل، ارتبا طات بازاریابی و غیره نقش جایگزین ناپذری گرا فها قا طعانه آشكار می شود. ریاضیات گسسته مقدماتی متنی فشرده برابر یك دوره ریاضیات گسسته در سطحی مقدماتی برای دانشجویان كارشناسی علوم كامپیوتر و ریاضیات است. مولفه های اساسی برنامه كار ریا ضیات گسسته در سطحی مقد ماتی عبارتند از : تركیبات نظریه گرا فها همراه با كار بردهایی در چند مسئاله استاندارد بهینه سازی شبكه ها، الگوریتمهایی برای حل این مسائل مهم اتحادیه سازندگان ماشینهای محاسبه و مهم كمیته برنامه ریزی یرای كارشناسی ریا ضی بر نقش حیاتی یك دوره درسی روشهای گسسته در سطح كارشناسی كه دانشجویان را به حیطه ریاضیات تركیباتی و ساختارهای جبری و منطقی وارد كند و روی ارتباط متقابل علوم كامپیوتر و ریاضیات تأكید داشته باشد صحه گذاشته اند.   جایگاه و ضرورت آموزش ریاضیات گسسته در نظام جدید دبیرستانی در جریان تغییر نظام آموزش دوره های كارشناسی ریاضی در سالهای اخیر در دانشگاهها و موسسات آموزش عالی شاهد بودیم كه درسهای جدید به تنا سب گرایشهای این رشته جایگزین درسهایی از نظام قبلی شدند. درس ریا ضیات گسسته نیز به ارزش 4 واحد درسی در این راستا بعنوان یكی از واحدهای پایه همه گرایشهای دوره كارشناسی ریاضی در نظر گرفته شده است. در كتابهای درسی ریا ضی نظام جدید دبیرستان نیز شاهد گنجاندن مفاهیم پایه ای مربوط به مباحث مقدماتی ریاضیات گسسته مانند نظریه گراف و دنباله ها و آمار و احتمال و ... می باشیم.  همچنین در دوره پیش دانشگاهی نیز درسی جداگانه تحت عنوان ریاضیات گسسته در نظر گرفته شده است. از آنجا كه این شاخه از ریاضی نیاز مند بحث و تبادل نظر از لحاظ آموزشی و تعیین جایگاه و ارتباط آن با سایر شاخه ها و موضوعات ریاضی می باشد. مطالبی كه در این قسمت از بحث طرح خواهد شد بیشتر بر اساس مقاله ای است كه تحت عنوان »آموزش ریاضی گسسته در دوره دبیرستان« توسط پروفسور آ.كاتلین در مجلة بین المللی ریاضیات، علم و تكنولوژی 1990 درج شده است. » انقلاب كامپیوتری، ریاضیات گسسته را همانند حساب دیفرانسیل و انتگرال برای علم و تكنولوژی ضروری ساخته است.«   محتوای كلی ریاضیات گسسته محتوای دقیق یك دوره ریاضیات گسسته هنوز تا حدودی به طور مبهم باقیمانده است، زیرا هم كتابهایی كه تاكنون در این زمینه به رشته تحریر در آمده و هم برنامه های درسی كه در این مورد از سوی برنامه ریزان مباحث درسی ریاضی تهیه  وتنظیم می شود، دقیقاَ نتوانسته اند موضوعات و قلمرو مباحث این درس را مشخص نمایند. موضوعاتی از قبیل نظریه اعداد و آمار و احتمالات و جبر خطی آنالیز عددی و مباحسات و برنامه سازیهای كامپیوتری ضمن اینكه در ریاضیات پیوسته جای پای محكمی دارند، در ریاضیات گسسته نیز خودنمایی و شكوفای روز افزون دارند. با این حال می توان گفت كه ریاضیات گسسته شامل مباحثی است كه مراحل مربوط به تغییرات گسسته و كمیتهای گسسته را توصیف می كند، در مقابل كالكوس كه مراحل تغییرات به طور پیوسته را دنبال می كند پس به طور دقیق می توان گفت كه ریاضیات گسسته كالكوس( حسابان) نیست. به طور كلی یك دوره ریاضیات گسسته را می توان شامل عناوین زیر دانست: منطق راضی و نظریه مجموعه ها ، ساختار های جبری از قبیل مباحث مربوط به گروهها و حلقه ها و میدانها و كواتریونها، شببكه ها جبر یون، نظریه گراف، روشهای تركیبات و شمارش، نظریه اعداد محاسبات و الگوریتمهای عددی و تجزیه و تحلیل آنها، استقرار و روابط بازگشتی معادلات تفاضلی،آمار و احتمال با فضاهای نمونه ای گسسته.   تفاوت ریاضیات گسسته و حساب دیفرانسیل و انتگرال ( ریاضیات پیوسته) در اساسی ترین سطح، مدلی برای بیان تفاوت بین ریاضیات گسسته و ریاضیات پیوسته ( یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال و شاخه هایی از آنا لیز كه به حساب دیفرانسیل و انتگرال وابسته اند) تفاوت بین اعداد صحیح و اعداد حقیقی است. اعداد حقیقی، پایه همه ریا ضیاتی هستند كه مانند حساب دیفرانسیل و انتگرال با خواص توابع پیوسته سر و كار دارند. در حالیكه ریاضیات گسسته بیشتر با توابعی سر و كار دارند كه بر مجموعه نقاط گسسته تعریف شده اند( مثل دنباله ها)  واز بسیاری جنبه ها به طور كامل با ساختمان پرشكوه آنالیز كه بر پایه حساب دیفرانسیل بنا شده است و به طور عمده به توابع پیوسته می پردازد، تفاوت دارد. می دانیم كه سیستم های فیزیكی از تعداد زیادی ذرات گسسته – اتمها و مولكولها – تشكیل شده است، در عمل پیوسته فرض كردن ماده فرض بسیار مناسب و دقیقی است. این سبب می شوند كه اكثر پدیده ها ی طبیعی سیستمهای فیزیكی كه از طریق حساب دیفرانسیل و انتگرال مدل سازی می شوند نوعاَ به صورت معادلات دیفرانسیل درآیند. این عملكرد آنچنان موفقیت شگفت انگیزی داشته است ك نتایج حاصل از آن تقریباَبرای همه  مقاصد و اهداف ذاتاَ دقیق اند و موفقیت مهندسی وصنعت در قرنهای اخیر در سراسز دنیا مرهون این مدل سازی زیبا و دقیق و كار بردی ریاضی است، خصوصاَ از زمانی كه پیدایش حسابگرهای رقمی و سپس كامپیوترها امكان بررسی و حل عددی معادلات دیفرانسیل و دیگر معادلات را فراهم نمودند. این آغاز شكوفایی آنالیز عددی بود نمونه متعارف از مسائلی كه با استفاده از تكنیكهای آنالیز عددی حل می شوند این است كه فرمول بندی یك مساله فیزیكی را با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال در نظر بگیریم و سپس آن را به شكل گسسته تبدیل كنیم تا با روشهای عددی قابل حل باشد. چنانچه در نمودار سیكلی مدل سازی ریاضی برای مسائل فیزیكی بیان گردید مرحله نهائی این پروژه زمانی قابل استفاده برای مسائل فیزیكی خواهد بود كه جواب یا پیش بینی حاصلها از الگوی ریاضی ارزش عملی دانسته باشد و این امر جز به وسیله آنالیز عددی و محاسبات عددی مربوط به آن و تجزیه  تحلیل خطاهای وارده و استفادهاز اصل دقت متغیر در روشهای ریاضی امكان پذری ننخواهد بود. از طزفی نیاز به ریاضیات گسسته، محدود به آنالیز عددی میشد نمی توانستیم ادعا كنیم كه چنین ریاضیاتی نقش مقایسه كردنی با حساب دیفرانسیل و انتگرال دارد. آنالیز عددی با وجود كار بردهای وسیع، آن موضوعی تخصصی است نمی تواند تأثیر چشمكیری بر روند دآموزشی ریاضیات بگذارد هر چند آنالیز عددی مهمترین محل تلاقی ریاضیات پیوسته گسسته است امروزه تنها یك جزء كوچك از كار بردهای ریاضیات گسسته را در‌بر‌می‌گیرد. محرك حقیقی برای رشد ریاضیات گسسته خود علوم كامپیوتری و همچنین نیازهای سایر رشته ها مانند اقتصاد ، پزشكی، زیست شناسی، علوم اجتماعی و... بوده است. بویژه هنگامی كه اقتصاددانان و زیست شناسان سعی كردند كه بحثهای خود را كمی تر و ریاضی تر نمایند با وجود این وضعیتهای تحت بررسی كه باید مدلسازی می شدند اغلب گسسته بودند از مدلهائی شروع كردند كه توسط حساب دیفرانسیل و انتگرال فراهم شده بودند زیرا به نظر نمی رسد چیز دیگری در دسترسشان باشد هنگامی كه كامپیوترها بیشتر در دسترس قرار گرفتند و وقتیكه ریاضیات گسسته روشهای مفید و قابل دسترس فراهم كرد باید اضافه كرد كه مدل ریاضی مسائل فوق عوض اینكه به صورت معادله دیفرانسیل در آید به صورت یك معادله تفاضلی در آمد كه چون حل معا دله تفاضلی خود به صورت مقادیر گسسته می باشد لذا نیازی به آنالیز عددی و تقریب جواب نیز نمی باشد بنابر این چون برای حل بیشتر این مسائل به ریاضیات گسسته نیاز داریم در آینده ریاضیات گسسته به طور فزاینده ای در مركز توجه ریاضیات كاربردی قرار خواهد گرفت.نكته این نیست كه در ریاضیات كاربردی، ریاضیات گسسته از آنالیز مهمتر خواهد بود یا نه در هر حال مساله مهم این است كه هردو به اندازه كا فی مهم خواهند بود به طوری كه اگر كسی بخواهد در ریاضیات یا هر رشته ای كه تنگاتنگ به ریا ضیات وابسته است پیشرفتی داشته باشذنمی تواند از دانستن ریاضیات كاربردی كلاسیك یا ریا ضیات گسسته یعنی ریا ضیات كاربردی جدید چشم بپوشد. چنانچه قبلانیز اشاره شد باید توجه كرد كه ریا ضیات گسسته و پیوسته وجه تمایز قاطعی ندارند بعضی از شاخه های ریاضیات، شامل عناصری از هر دونوع گسسته و پیوسته هستند.   مباحثی از ریاضیات گسسته انواع ریاضیاتی كه تحت عنوان ریاضیات گسسته شناخته می شود و انواع مسائلی كه این نوع ریاضیات برای حل آنها به كار گرفته می شود با استفاده از تعدادی مثال بهتر فهمیده خواهد شد بعضی از این مثالها به طور كلی ریا ضی و بعضی مربوط به مسائل علمی خواهند بود این مثالها هرگز همه شاخه های ریا ضی موجود در ریا ضیات گسسته را در بر نمی گیردبلكه منظور از آوردنشان تنهااین است كه روحیه حاكم بر ریا ضیات گسسته و كاربردهای آن نشان داده شود. اما شاخه هایی از ریاضیات گسسته كه در زیر مورد بحث قرار خواهیم داد گستره گوناگونی از كاربردهای عملی را در بر خواهند داشت. همچنین تذكر این نكته ضروری است كه از نظر آموزشی بهتر است ریاضیات گسسته و پیوسته به همراه همدیگر تعلیم داده شوند.     مرور تاریخی مباحث مهم ریاضیات گسسته:        ·   تجزیه مسائل به اجزایی كه برای حل به فرمولهای همانند یا متفاوتی نیاز دارند بینشی كلیدی در پهنه های ریاضیات گسسته و تركیباتی فراهم كرد این چیزی شبیه به روش از بالا به پایین برای بسط الگوریتمها در زبان ساخت یا فته ای نظیر زبان پاسكال است. در این روش برای حل مساله ای مشكل ابتدا الگوریتمی را با در نظر گرفتن اجزای فرعی مهم مسائل كه نیاز به حل دارند تهیه می كنند سپس این اجزای فرعی بیشتر پالائیده شده – به كارهای انجام پذیر برنامه ریزی ساده تری تقسیم می‌شوند هر سطح پالایش، روشنی، دقت و جامعیت الگوریتم را بهبود می بخشد تا به راحتی قابل ترجمه به كد زبان برنامه ریزی شود.  مفهوم جایگشت را می توان در اثر عبری( كتاب آفرنش) دستخوشی عرفانی كه در زمانی بین 200تا600 سال قبل از میلاد نوشته شده است یافت . اما حتی قبل از آن جالب است كه بگوئیم قضیه ای از خنوكراتس اهل جالسدون(396-314 قبل از میلاد) در دست است كه احتمالاَممكن است شامل » اولین تلاش در ثبت حل مسأله ای مشكل در جایگشتها و تركیبها باشد.«  اولین فن حدس زدن (Ars   Conjectandi) نوشته یاكوب برنولی(1654-1705 ) نخستین كتاب درسی است كه پاره ای از مطالب این بحث را مورد بررسی قرار داده است این كتاب در سال 1731 پس از مرگ برنولی منتشر شد و شامل چاپ تازه اولین رسالة رسمی دربارة احتمال است كه در 1675 كریستیان هوینگس نوشته است. در 1837 پترگوستاف لوژون دیریكله (1805-1859) فرمولبندی دقیقتری را از مفاهیم متغیر، تابع، و تناظر بین متغیر مستقلx ومتغیر وابسته y ، وقتی  پی ریزی كرد كاردیله بر بستگی بین دو مجموعه از اعداد تأكید داشت و منربوط به وجود فرمول یا عبارتی كه دو مجموعه را به هم مربوط كند بشود. با پیشرفتهایی كه در نظریه مجموعه ها در طی قرنهای نوزده و بیست صورت گرفت تعمیم تابع به صورت نوعی خاص از رابطه در آمد. دیركله علاوه بر كار اساس اش دربارة تعریف تابع در ریاضیات كاربردی و در نظریة اعداد نیز كاملاَ فعال بوددر همین جا بود كه نیاز به اصل لانة كبوتررا كه اغلب به آن اصل كشوی دیریكله هم می گویند دریافت.        ·   اعدا استرلینگ به ا فتخار جیمز استرلینگ(1692-1770) كه در بسط تابعهای مولد پیشگام بوده است، به این نام خوانده شده اند. اصل شمول و عدم شمول تاریخچة جالبی دارد كه در نوشته های مختلف تحت نامهایی نظیر » روش غربال« یا » ا صل رده بندی حذ فی« وجود دارد یك صورت نظریة مجموعه ای این اصل كه با اجتماعها و اشتراكها سر وكار دارد در اصول شانسها (1718) كتابی درسی دربارة نظریة احتمال اثر آبرام دمواورآمده است كمی پیشتر از آن در1713 پی ریمون دمونموراندیشة زیر بنایی این اصل را در حل مسأله‌ای كه عموماَ به مسأله پریشیها معروف است به كار برد. امتیاز این نحوة  بسط و پرداختن به این اصل، از آن جیمز جوزف سیلوستراست ولی اهمیت این تكنیك تا زمانی كه نوشته های ویت ورت ریاضیدانان را از توان  واستفادة آن آگاه نكرده بود،به طور كلی درك نشده بود.   نظریة گراف یكی از شاخه های مهم ریاضیات در حالتی گسترده با موضوعات مختلف نظریه گراف می باشد . نظریه گراف یكی از كاربردی ترین شاخه های ریاضیات گسسته است یكی از محبوبترین و پربارترین شاخه های ریاضیات و علوم كامپیوتری است. یكی از دلایل مهم این علاقه به نظریه گرا فها در قابلیت كاربرد آن در بسیاری از مسایل پیچیده و گسترده جامعه مدرن در زمینه های گوناگون نظیر ا قتصاد، توزیع، خدمات، مدیریت، بازاریابی ، مدلسازی انرژی، انتقال اطلاعات و برنامه‌ریزی حمل و نقل نهفته است، از این جهت نظریه گرافها را نخست و قبل از همه به عنوان ابزاری برای فرمولبندی مسائل و تعریف روابط متقابل ساختاری به كار می گیرند.رشته نظریه گرافها دارای  دوشاخه متفاوت است 1- جنبه های جبری  2- جنبه های بهینه سازی مسأله  پل كونیگسبرگ:   نخستین مطلب منتشر شده درباره نظریه گرا فها از لئونهارت اویلرسوئیسی در 1736 بود مقاله او راه حل را برای مسئله ای كه بنام مسئله بل كونیكسبرگ مشهور است ارائه می كردشهر كونیكسبرگ در روسیه كه در كنار رود پرگل واقع شده است از شاخص شمالی(N) ساحل جنوبی (S )جزیره غربی(W) و جزیره شرقی(E) تشكیل شده است. ارتباط بین این چهار قسمت به وسیله هفت پل برقرار می شد.دوپل بینN وW دوپل بین S وW و یك پل ازE به هر یك ازNوS وW (مطابق شكل)مسئله ای كه اویلر مطرح كرد این بود كه »آیا امكان دارد از جایی در شهر شروع به حركت كرد و پس از پیمودن هر پل دقیقاَیكبار به نقطه شروع بازگشت یا نه؟« اگر هر قسمت شهر بعنوان یك رأس و هر پل بعنوان یك یا ل تلقی شود. گراف با چهار رأس، هفت بال داریم كه مدلسازی مسئله نامبرده را به زبان گرافها به دست می دهد كه می توان مسئله را به این شرح بیان كرد: گرافی (نه لزوماَ ساده) مفروض است، آیا امكان دارد كل نمودار این گراف را چنان پیمود كه از روی هر بال بیش از یك بار عبور بكنیم؟ اویلر به آسانی ثابت كرد كه در مورد مسئله بل كونیكسبرگ پاسخ منفی است.   - طریقه نمایش گراف     نقاطP  ،Q ،R ،S ،T ،رئوس(Vertices )و خطوطی كه رئوس را با هم وصل می كند ضلع (e d g e )نامیده می شودتوجه داریم كه محل تلاقی QT وPS یك رأس نیست این دیاگرام را یك گراف(g r a p h ) می نامیم. درجه (d e g r e e )یك رأس A در یك گراف ، برابر تعداد اضلاعی است كه رأس A نقطة انتهایی آنها می باشد.لذا درجه Q برابر با4 است. یك گراف را می توان به طرق مختلف نمایش داد مثلاَمی توانستیم ضلع S وP را خارج ا ز مستطیل رسم كنیم چون گرافی را كه می سازیم مشخص مجموعه ای از نقاط و راههایی است كه آنها را به هم وصل می كند خواص متریك در آنها صادق نیستند لذا از این دیدگاه هردو گرافی كه دارای یك ساختار باشند، نمایانگر یك گراف خواهند بود مانند شكلهای(الف و ب). یالها ممكن است بدون جهت باشندیا جهت داشته باشند كه در حالت اخیر آن را گراف جهت دار یا دی گراف می نامیم.       گراف هامیلتونی ریاضیدان شهیر ایرلندی سر ویلیام هامیلتون (1805-1865) است كه وجود جوابی برای بازی » دوددینا« را مورد پژوهش قرار داد.دراین بازی از یازیكن خواسته می شود كه راهی در امتداد یالهایی یك دوازده وجهی ( یك چند وجهی منظم با20 رأس،80 یال و12 وجه) چنان بیابد كه از هررأس دقیقاَ یك بار بگذرد و سپس به رأس شروع حركت باز گردد بدین سان این بازی دارای جواب است اگر فقط G یك گراف هامیلتونی باشد. تعریف: مسیری بین هر دو رأس گراف كه از هر رأس دقیقاَیك بار بگذرد.مسیرها میلتونی گویند . مسیری بسته را كه از هر دقیقاَ یك بار بگذرد و در آن همه یالها متمایز باشند دور هامیلتونی می نامند. گرافی را گراف هامیلتونی گویند هرگاه دور هامیلتون داشته باشد. یكی ازمعروفترین مسائل در نظریه گراف،مسئله چهار رنگ است، هر چند كه این مسئله در اصل مربوط به نقشه هاست نه گرا فها، اما حل آن با گراف است.           نقشه ای با 48 ایالت همجوار را در نظر بگیرید مسأله این است كه كمترین تعداد رنگهایی كه لازم است تا نقشه را چنان رنگ آمیزی كنیم كه هیچ دو ناحیه هم مرز(كه در بیش از یك نقطه هم مرزند و ناحیه یك تكه اند) رنگ مشابهی نداشته باشندد چند تاست؟ گرچه این مسأله بیشتر از لحاظ ریاضی مهم است تا از لحاظ جغرا فیایی، ولی ممكن است برای مثال بر كار نقاشی كه می خواهد یك اطلس را رنگ آمیزی كند، و باید بداند كه چند رنگ مركب لازم خواهد داشت اثر بگذارد. قضیه چهار رنگ بیان می دارد كه برای رنگ آمیزی هر نقشه ای كه بتواند آن را بر روی كاغذ رسم كرد، چهار رنگ كافی است این مسأله برای اولین بار در نیمه اول قرن نوزدهم مطرح شد و تنها حدود بیست سال قبل 977 با استفاده از نظریه گراف قضیه های فراوان و 1200 ساعت از وقت یكی از سریعترین كامپیوترهای زمان توسط دو ریاضیدان به نامهای كنت اپل و ولگانگ هیكن در دانشگاه ایلی نویز حل شد چگونه قضیه چهار رنگ به صورت قضیه ای در نظریه گراف مطرح می گردد؟ اگر به جای هر یك از نواحی نقشه، یك رأس در نظر بگیریم و سپس فقط رأسهای مربوط به نواحی هم مرز زا به یكدیگر وصل كنیم نقشه مورد نظر تبدیل به یك گراف می شودگراف حاصل با  نقشه مورد نظر متناظر است. اپل و هیكن با استفاده از یك كامپیوتر سریع به بررسی تعداد زیادی از حالتهای ممكن كه پیش از آن از طریق تحلیل ریاضی نشان داده شده بود كه بررسی آنها برای اثبات قضیه كفایت می كند پرداختند و به این ترتیب قضیه را ثابت كردند بنابر این مسأله ای كه بیش از نیم قرن در مقابل حمله تعدادی از برگترین ریاضیدانهای زمان مقاومت كرده بود، در برابر یك تحلیل كامپیوتری كه بر پایه پیشرفتهای ریاضی نظریه گراف بنا شده بوداز پای در امد.می دانیم كه عدد كروماتیك (رنگی )یك گراف عبارت است از مینیمم (Minimom ) تعداد رنگی كه بتوان رئوس گراف را رنگ زد، طوری كه دو رأس همجوار دارای رنگهای یكسان نباشند. بنابر این عدد 4 عدد رنگی گرافی است كه متناظر با نقشهای است كه برای نثال 48 ایالت دارد كه به وسیله عملیات جبری محاسبه می شود. یكی از مسائل مهم و عمده در نظریه گراف و مسائلی كه از مدل سازی ریاضی سیستمهای فیزیكی اقتصادی، اجتماعی، زیستی و... پدید می آیند پیدا كردن عدد رنگی یك گراف می باشد این موضوع برای گرا فهای با تعداد اضلاع و رئوس متناهی پایین ( برای نثال با تعداد رئوس 4و5و…)به سادگی برای انواع گرا فها محاسبه می‌شود ولی وقتی تعداد رئوس یا اضلاع بیشتر و یامتناهی باشداز مسائل پیشرفته و پیچیده این نظریه می باشد. یك روش جالب در این مورد كه از مفاهیم مربوط به نظریه حلقه ها استفاده كرده و ارتباطی بین نظریه گراف و نظریه حلقه ها در جبر ایجاد كرده است مبتنی بر مقاله ای است با عنوان» رنگ كردنن حلقه های جابجایی« توسط استوان بك (Istvan Bek ) می باشد كه موضوع پایان‌نامه تحصیلی در دوره كارشناسی ارشد استاد ارجممند دكترمحمد‌جهانشاهی نیز بوده است. در این روش با استفاده از مفاهیم نظریه حلقه ها از قبیل ایده آلها و عناصرپوچ توان در یك حلقه، عددرنگی از گرا فهای نامتناهی را كه دارای ساختار حلقه هستند پیدا شده است. مسائلی ازنظریه گراف: نظریه گراف شاخه ای از ریاضیات گسسته است ك برای حل و فرموله كردن بسیاری از مسائل اجتماعی از قبیل حمل ونقل، ترا فیك در شهرها، آلودگی، سرویسهای شهری ژنتیكی، مسائل پلیسی و مسائل مهندسی از قبیل انرژی و مدارهای الكتریكی، مهندسی شیمی و…با كار می رود نمی توان ادعا كرد كه نظریه گراف به تنهایی قادر به حل این مسائل است و یا بدون نظری گراف حل این مسا ئل غیرممكن است بلكه این نظریه وسیله ای برای فرموله كردن این مسائل است. اغلب فرموله كردن دقیق مسأله به ما مشان می دهد كه چرا مسأله دشوار است؟و برای حل آن چگونه باید داده ها ی مسأله ر برای بازكردن موجود در مسأله، تنظیم و سازماندهی كرد بنابراین گاهی وقتها نظریه گراف مسأله را حل می كند و یا دست كم به ما این بصیرت را می دهد كه چگونه از امكانات موجود برای رسیدن به هدف خاصی استفاده كنیم. 1- اگر تعداد روشهای مختلف رنگ كردن رئوس گراف G را با رنگ مختلف نشان دهد طوری كه در هر روش هیچ دو رأس همجوار دارای رنگ یكسان نباشد در مورد هر یك از گرافها ی زیر عبارتی تحلیلی برای بیان بر حسب K پیدا كنید.       حل: در مورد (الف) ملاحظه می كنیم كه اگر نقطه میانی به K طریق رنگ شود آن گاه نقطه های انتهایی به طریق رنگ خواهند شد لذا  برای عبارت است از:  در مورد (ب) ملاحظه می كنیم كه شبیه حالت (الف)،می تواند به صورت                                                                                               و بالاخره در مورد (ج) اگر یكی از رئوس به K طریق رنگ شود رأس دیگر به  طریق و رأس سوم بهطریق رنگ خواهد شدلذا برابر است با :                                                                                          همین طور برای چنین گرافی باn  رأس داریم: ملاحظه می كنیم كه در مورد گرا فها ی(الف)و(ب)حداقل مقدارk برابر 2و در مورد گراف (ج) حداقل مقدار k برابر 3 می باشد. كمترین مقدار ممكن k را با شرایط فوق عدد رنگی گرافG می نامیم و با(G)X نشان می دهیم. 2- می خواهیم با هفت دبیر دبیرستانی پنج كمیتة آموزش، پژوهش، ورزش، هنرو كتابخانه چنان تشكیل دهیم كه برخی از دبیران بتوانند در بیش از یك كمیته عضویت داشته باشند اگر هر كمیته موظف باشد كه جلسه ای یك ساعته با حضور تمام اعضای خودتشكیل دهد .زمان لازم برای این كه تمام كمیته ها بتوانند وظایف خود را انجام دهند چقدر باید باشد؟ حل: فرض كنیم دبیران با a وكمیته ها بانشان داده شوند همچنین اعضای كمیته ها به صورت زیر مشخص شده باشند.                                                                عضوكمیته هستند .                                                                                    عضو كمیته هستند.                                                             عضو كمیته هستند.                                                                       عضو كمیتههستند.                                                                           عضو كمیته  هستند. اگر به هر كمیته یك نقطه نسبت دهیم و دو نقطه را با خطی به هم وصل كنیم ، هرگاه یكدبر بخواهد در بیش از یك كمیته عضویت داشته باشد، آنگاه گراف مربوط به این وضعیت می تواند به صورت زیر باشد.         با توجه به مسأله (1) ملاحظه میكنیم كه عدد رنگی این گراف 3 است یعنی با سه ساعت متوالی تمام كمیته ها می توانند جلسه های خود را برگزار كند و با كمتر از سه ساعت این كار عملی نیست زیرا جلسات سه كمیته و وبه دلیل این كه اعضای مشترك دارند به سه ساعت متفاوت نیاز دارند بدیهی است كه بیشتر از 3ساعت نیز امكان پذیر است ولی به خواست مسأله پاسخ دقیق مسأله درست سه ساعت است. رابطه های بازگشتی ومعادلات تفاضلی معادلات دیفرانسیل به عنوان اولین مولود زیبای حساب دیفرانسیل و انتگرال (ریاضیات پیوسته نامیده می شوند چنانكه می دانیم هدف ازحل یك معادله دیفرانسیل معمولی(بامشتقات نسبی در حقیقت پیذا كردن یك تابع حقیقی(یاتابع چند متغیره حقیقی)می باشد، كه در معادله دیفرانسیل و در شرطهای داده شده اضافی صدق كند بنابر این مجهول یك معادله دیفرانسیل همواره یك تابع می باشد.همتای معادلات دیفرانسیل در ریاضیات گسسته، معادلات تفاضلی است و هدف از حل یك معادله تفاضلی پیدا كردن یك تابع گسسته (در حقیقت یك دنباله) است كه بر مجموعه اعداد طبیعی تعریف شده است. بنا بر ماهیت معادله تفاضلی دنباله جواب به صورت بازگشتی محاسبه می‌شودیعنی هر جمله با جمله ما قبل خود محاسبه می شود.برای مثال در معادله تفاضلی: (1)                                                                                   اگر معلوم باشد  به راحتی محاسبه می شود. مرتبه یك معادله تفاضلی، تفاضل بزرگترین .و كوچكترین اندیسK در نعادله می‌باشد. برای مثال مرتبه معادله (1)یك است. مشابهت بسیاری بین نظریه معادلات دیفرانسیل و نظریه معادلات تفاضلی وجود دارد نونه های زیر می تواند بیانگر این مشابهت باشند. 1-     معادله تفاضلی خطی مرتبه اول بطور دقیق دارای یك جواب عمومی است كه با شرط اولیه   معین می گردد. همچنین معادله مرتبه دوم نیز دارای دو جواب عمومی است كه با شروط معین می گردد. 2-            معادله تفاضلی مرتبه دوم خطی همگن در حالت كلی به صورت :                                                                                            است و جواب عمومی معادله می باشد كه در آن  و  هر كدام یك جواب معادله و وثابتهای دلخواه هستند. همانند اصل انطباق در نظریه معادلات دیفرانسیل (هر تركیب خطی از جوابهای یك معادله همگن خطی همچنان جواب معادله مزبور است). هر جواب معادله با انتخاب صحیح و می تواند به عنوان یك انطباق از و نشان داده شود به شرطی كه دترمینان رونسكی دو جواب مخالف صفر باشد، یعنی:       هرگاه ومقادیر ثابت باشند با تشكیل معادله مشخصه و تعیین ریشه های آن وجوابهای وبه صورت زیر محاسبه خواهند شد: اگر                                                                                                 اگر                                                                             اگر                                                   ,    كه در آن   می باشد. كه در ان و به ترتیب مدول و آرگومان ریشه های و مختلط می باشد. كه مشابهت با جوابهای معادله دیفرانسیل آشكار است. مثال1- معادله تفاضلی  را در نظر می گیریم كه معادله مشخصه آن  می باشد ریشه های معادله مشخصه است ، بنا بر این:                                                                                                                                                                      جوابهای معادله می باشند و این شگفت انگیز است كه جوابهای معادله دیفرانسیل مرتبه دوم نیز به صورت می باشدكه در آن و ثابتهای اخباری هستند. مثال2-معادله تفاضلی زیر را در نظر می گیریم كه به عنوان مدلی برای وضعیتی كه مبلغ p با نرخ بهره سالانه ثابت r پس انداز شده ،به كار می رود. در این صورت اگر مقدارپس انداز از k سال باشد: (2)                    شرط اولیه                                  شرط اولیه می باشد و جواب معادله (2) به صورت دنباله زیر داده می‌شود. (3)                                                                                       اكنون حالت پیوسته این مسأله را با معادلات دیفرانسیل بحث می كنیم: فرض كنیم كه مبلغمبلغ پولی با نرخ بهره r به بانك سپرده شده است مقدار سرمایه (t)s بعد از مدت t سال بستگی به تعداد دفعاتی دارد كه بهره به آن اضافه شده است، اگر بهره یك بار در سال به سرمایه اضافه شود آن گاه: (4)                                                                            ) با استفاده از معادله تفاضلی (3) نوشته شده است.) اگر بهره دوبار شش ماه به شش ماه در سال به سرمایه اضافه شود آنگاه: (5) s                                                               و اگر بهره به طور ماهانه به سرمایه اولیه اضافه شود، آنگاه :                                                                                                      و به طور كلی اگر بهره m را در سال به سرمایه ا ضافه شود آنگاه: (6)                                                                             اكنون این وضعیت را با یك مدل راضی با فرض آن كه » بهره به طور پیوسته « به سرمایه اضافه می شود تقریب می زنیم. بااین فرض كه میزان رشد سرمایه متناسب است با سرمایه اولیه، خواهم داشت:  (كه درآن  Iضریب تناسب می باشد.)                                                      در می آید كه جواب این معادله همراه با شرط اولیه  عبارت است از:     (7)                                                                                        ملاحظه میشود كه اگر  طرف دوم رابطه(6) به طرف دوم رابطه (7) میلخواهد كردو جواب مسأله در حالت گسسته و پیوسته بر هم منطبق خواهد شد(وقتی كه). همانطور كه می دانیم در عمل فقط امكان در نظر گرفتن وجود دارد و مناسب تر است كه در حالت گسسته مسأله استفاده شود. برای مدلهای فیزیكی كلاسیك كه بر حسب معادلات دیفرانسیل بیان شده اند اگر معادلات به صورت تحلیلی قابل حل نباشد به طور مستقیم نمی توان جواب را محاسبه كرد. برای محاسبه آن اغلب لازم است كه اول معادلات دیفرانسیل را به وسیله معادلات تفاضلی تقریب بزنیم و سپس محاسبه را انجام دهیم بر عكس بعضی وقتها نیز مدل ریاضی مسأله به صورت معادلات تفاضلی با ضرایب شامل متغیر و یا به صورت معادلات تفاضلی غیر خطی در می آیند كه چنین شراطی به دلیل فقدان نظر به وجود حا معادلات تفاضلی غیر خطی و با ضرایب متغیر و نحوه محاسبه حل آنها، عموماَ مشكل و از مسائل حل نشده هستند. مناسب ترین روش همان است كه سیستم گسسته را با یك مدل پیوسته( معادله دیفرانسیل) مدلسازی كنیم و با حل معادله دیفرانسیل غیر خطی به جواب مسأله برسیم، سپس از روی فرمول جواب، مقادیر مربوط به زمانهای گسسته را مثل( روز، ماه، سال و ….) كه مطلوب مسأله می‌باشند پیدا كنیم یكی از این روشها، روش تكرار پیكار می باشد كه در مثال زیر توضیح داده شده استبرای مسأله مقدار اولیه:   شرط اولیه  می خواهیم جواب تقریبی محاسبه كنیم می دانیم كه این مسأله با معادله انتگرال زیر هم ارز است:                                                        كه از این معادله استفاده كرده دنباله تقریبات متوالی را به صورت زیر تشكیل می‌دهیم: اكنون با داشتن تقریب اولیه  تقریبهای بعدی  وو….و را تا مرحله مورد نظر به دست می آوریم. مثال2- دوتقریب متوالی جواب مسأله مقدار اولیه  با شرط اولیه  را به وسیله روش تكرار پیكار به دست آورید : حل : دنباله تابعی روبرو را تشكل می دهیم :                  بنابراین                                                                    این روش آنچنانساده است كه می تواند براحتی در دوره دبیرستان و دورة پیش‌دانشگاهی استفاده گردد .     نمودار ترسیمی روشها و مدلهای گسسته و پیوسته ریاضی : در این قسمت می خواهیم جایگاه و نقش شاخه های مختلف ریاضی و ارتباط آنها را با همدیگر به وسیله نمودار ترسیم نماییم . كار ریاضیات كاربردی بررسی و تجزیه و تحلیل مسائل جهان مادی فیزیك و دادن مدل ریاضی متناسب با انها و نهایتاً حل آنها با روشهای ریاضی می باشد . سیستم های فیزكی و پدیده های طبیعی ، اجتماعی و اقتصادی و زیستی ، با توجه به این كه عناصر مورد بحث در آنها ذاتاً پیوسته یا گسسته باشند ، به دو صورت سیستم گسسته یا پیوسته در نظر گرفته می‌شوند . مدلی كه در ریاضیات برای بررسی و تجزیه و تحلیل آنها در نظر می‌گیریم.  با توجه به توانائی و مناسبت روشهای ریاضی نیز می تواند به حالت گسسته یا پیوسته در نظر گرفته شود . به عنوان مثال با وجود این كه سیستم های فیزیكی اغلب از تعدادی ذرات گسسته مثل اتمها و مولكولها تشكیل شده اند ، اما در عمل پیوسته فرض كردن ماده ، فرض بسیار مناسب و دقیقی است و روش مدلسازی آنها در ریاضیات از طریق حساب دیفرانسیل و انتگرال به نوعی به صورت معادلات دیفرانسیل در می آید . در اینجا سیستم به طور ذاتی گسسته است ولی روشی كه برای بررسی آن به كار می بریم ، یك مدل پیوسته می باشد و اینها در قلمرو حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند . به عنوان مثال دیگر وقتی قانون رشد سرمایه ، رشد جمعیت ، رشد باكتریها و ... را بحث می كنیم این سیستمها به طور ذاتی گسسته هستند ، ولی هم می توان مدل ریاضی آنها را به صورت پیوسته در نظر گرفت كه در این موارد باید با انتخاب جامعه‌ای كه تقریباً بزرگ است ، متغیر گسسته را به متغیر پیوسته تبدیل نمود . (در مثال قانون رشد سرمایه فرض می كنیم ، تعداد افزوده شده بهره به سرمایه بزرگ باشد و به صورت روزانه به سرمایه اضافه می شود‌،  در این صورت نسبت  به عنوان یك متغیر پیوسته در نظر گرفته شود) و یا می توان در سستمی كه به طور ذاتی گسسته است مدل گسسته نیز برای بررسی و حل آنها انتخاب كرد ، به معادلات (6) و (7) كه به ترتیب جواب مدل گسسته و پیوسته می باشند ، در مثال قانون رشد سرمایه مراجعه شود . در چنین حالتی كه سیستم به طور ذاتی گسسته را با یك مدل گسسته ریاضی تجزیه و تحلیل و حل می كنیم ، این به قلمرو ریاضیات گسسته مربوط می شود . و وقتی كه سیستمی را كه به طور ذاتی پیوسته است با یك مدل پیوسته بررسی می كنیم ، باز این از قلمرو حساب دیفرانسیل و انتگرال و معادلات دیفرانسیل است ، ولی وقتی كه سیستمی را كه به طور ذاتی پیوسته است با یك مدل گسسته ریاضی بررسی و حل كنیم ، این به قلمرو آنالیز عددی و محاسبات كامپیوتری مربوط می‌شود. به عنوان مثال وقتی كه ریشه معادله  را با روشهای عددی به صورت تقریبی محاسبه می كنیم ، در واقع سیستمی را كه به طور ذاتی پیوسته است (ریشه در اعداد حقیقی است) با یك مدل گسسته (تشكیل یك دنباله از تقریبهای متوالی ریشه)‌ بررسی می كنیم . چیزی كه در اینجا شایان توجه واهمیت است ، این است كه از دیدگاه ضرورت مینیمم سازی خطا و انطباق بیشتر مدل ریاضی داده شده به فیزیكی مسئله بهتر است ، مساله فیزیكی پیوسته را با یك مدل ریاضی پیوسته بررسی و حل نمود و همچنین مساله فیزیكی گسسته را با یك مدل ریاضی گسسته حل نمود ، این جاست كه اهمیت و نقش ریاضیات پیوسته و ریاضیات گسسته به طور پایاپای مشخص می شود .   منابع 1- اصول فراگیری و آموزش ریاضیات دبیرستانی و پیش دانشگاهی  تالیف دكتر محمد جهانشاهی   2- ریاضیات گسسته و تركیباتی             تالیف رالف گریمالدی ، ترجمة علی عمیدی   3- ریا ضیات گسسته ومقدماتی               تالیف بالا كریشنان ، ترجمة دكتر بیژن شمس و دكتر محمدعلی رضوانی                  




نوع مطلب : تحقیق ریاضی، 
برچسب ها : ریاضیات گسسته، گسسته ریاضی، ریاضی گسسته،

       نظرات
جمعه 24 اردیبهشت 1389
علی م مولایی